Exemplos de Templates
Exemplo: Convolução Linear
Considere a imagem a e o template t seguintes:
Imagem a
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | -1 | 1 |
| 4 | 5 | 6 |
Template t
O template tem a forma de um "L" com o pixel central hachurado:
| 1 | 2 |
| -1 |
Os pesos são: 1 (hachurado), 2 e -1.
Cálculo da Convolução
A convolução à direita \( \mathbf{b} = \mathbf{a} \oplus \mathbf{t} \) é obtida por:
Cálculos Detalhados
b(1,1): [ \mathbf{b}(1,1) = (\mathbf{a}(1,1) \cdot \mathbf{t}{(1,1)}(1,1)) + (\mathbf{a}(2,1) \cdot \mathbf{t}(2,1)) = (1 \cdot 2) + (0 \cdot (-1)) = 2 ]
b(1,2): [ \mathbf{b}(1,2) = (\mathbf{a}(1,1) \cdot \mathbf{t}{(1,2)}(1,1)) + (\mathbf{a}(1,2) \cdot \mathbf{t}(2,2)) ] [ = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) + ((-1) \cdot (-1)) = 1 + 4 + 1 = 6 ]}(1,2)) + (\mathbf{a}(2,2) \cdot \mathbf{t}_{(1,2)
b(1,3): [ \mathbf{b}(1,3) = (\mathbf{a}(1,2) \cdot \mathbf{t}{(1,3)}(1,2)) + (\mathbf{a}(2,3) \cdot \mathbf{t}(1,3)) ] [ = (2 \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) + (3 \cdot 2) = 2 - 1 + 6 = 7 ]}(2,3)) + (\mathbf{a}(1,3) \cdot \mathbf{t}_{(1,3)
...
b(3,3): [ \mathbf{b}(3,3) = (\mathbf{a}(3,2) \cdot \mathbf{t}{(3,3)}(3,2)) + (\mathbf{a}(3,3) \cdot \mathbf{t}(3,3)) = (5 \cdot 1) + (6 \cdot 2) = 5 + 12 = 17 ]
Visualização Passo a Passo
Passo 1: b(1,1) = 2
| Imagem | → | Resultado |
|---|---|---|
| 1 2 (verde) | 2 | |
| 0 -1 (vermelho) | ||
| 4 5 6 |
Passo 2: b(1,2) = 6
| Imagem | → | Resultado |
|---|---|---|
| 1 2 2 (verde) | 2 6 | |
| -1 -1 (vermelho) |
Passo 3: b(2,2) = -7
| Imagem | → | Resultado |
|---|---|---|
| 1 2 3 | 2 6 | |
| 0 -1 (vermelho) | -7 | |
| 4 5 (vermelho) |
Resultado Final
Após calcular todos os pixels, obtemos a imagem resultante b:
| 2 | 6 | 7 |
| -7 | ||
| 17 |
Observação
Note que o domínio de saída pode ser diferente do domínio de entrada, dependendo de onde o template pode ser aplicado completamente.
Resumo
| Conceito | Descrição |
|---|---|
| Convolução linear | \( \mathbf{b}(\mathbf{y}) = \sum_{\mathbf{x}} \mathbf{a}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \) |
| Template em L | Forma não-retangular com pesos 1, 2, -1 |
| Passo a passo | Deslizamento do template sobre a imagem |
Resultado Final Completo
Exemplo: Max Morfológico (Máximo Aditivo)
Calculamos agora o max morfológico (máximo aditivo) \( \mathbf{a} \boxed{\vee} \mathbf{t} \):
Cálculos
b(1,1): [ \mathbf{b}(1,1) = (\mathbf{a}(1,1) + \mathbf{t}{(1,1)}(1,1)) \vee (\mathbf{a}(2,1) + \mathbf{t}(2,1)) = (1+2) \vee (0-1) = 3 ]
b(1,2): [ \mathbf{b}(1,2) = (\mathbf{a}(1,1) + \mathbf{t}{(1,2)}(1,1)) \vee (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}(2,2)) ] [ = (1+1) \vee (2+2) \vee ((-1)+(-1)) = 4 ]}(1,2)) \vee (\mathbf{a}(2,2) + \mathbf{t}_{(1,2)
b(1,3): [ \mathbf{b}(1,3) = (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}{(1,3)}(1,2)) \vee (\mathbf{a}(2,3) + \mathbf{t}(1,3)) ] [ = (2+1) \vee (1+(-1)) \vee (3 \cdot 2) = 5 ]}(2,3)) \vee (\mathbf{a}(1,3) + \mathbf{t}_{(1,3)
b(3,3): [ \mathbf{b}(3,3) = (\mathbf{a}(3,2) + \mathbf{t}{(3,3)}(3,2)) \vee (\mathbf{a}(3,3) + \mathbf{t}(3,3)) = (5+1) \vee (6+2) = 8 ]
Resultado
Exemplo: Min Aditivo
Vejamos agora o mínimo aditivo \( \mathbf{a} \boxed{\wedge} \mathbf{t} \):
Cálculos
b(1,1): [ \mathbf{b}(1,1) = (\mathbf{a}(1,1) + \mathbf{t}{(1,1)}(1,1)) \wedge (\mathbf{a}(2,1) + \mathbf{t}(2,1)) = (1+2) \wedge (0-1) = -1 ]
b(1,2): [ \mathbf{b}(1,2) = (\mathbf{a}(1,1) + \mathbf{t}{(1,2)}(1,1)) \wedge (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}(2,2)) ] [ = (1+1) \wedge (2+2) \wedge ((-1)+(-1)) = -2 ]}(1,2)) \wedge (\mathbf{a}(2,2) + \mathbf{t}_{(1,2)
b(1,3): [ \mathbf{b}(1,3) = (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}{(1,3)}(1,2)) \wedge (\mathbf{a}(2,3) + \mathbf{t}(1,3)) ] [ = (2+1) \wedge (1+(-1)) \wedge (3 \cdot 2) = 0 ]}(2,3)) \wedge (\mathbf{a}(1,3) + \mathbf{t}_{(1,3)
b(3,3): [ \mathbf{b}(3,3) = (\mathbf{a}(3,2) + \mathbf{t}{(3,3)}(3,2)) \wedge (\mathbf{a}(3,3) + \mathbf{t}(3,3)) = (5+1) \wedge (6+2) = 6 ]
Resultado
Exemplo: Convolução pela Esquerda
Exemplificamos agora a convolução pela esquerda \( \mathbf{b} = \mathbf{t} \oplus \mathbf{a} \) baseada no template transposto:
Cálculos
b(1,1): [ \mathbf{b}(1,1) = (\mathbf{a}(1,1) \cdot \mathbf{t}{(1,1)}(1,1)) + (\mathbf{a}(1,2) \cdot \mathbf{t}(1,1)) = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = 4 ]
b(1,2): [ \mathbf{b}(1,2) = (\mathbf{a}(1,2) \cdot \mathbf{t}{(1,2)}(1,2)) + (\mathbf{a}(1,3) \cdot \mathbf{t}(1,2)) = (2 \cdot 2 + 3 \cdot 1) = 7 ]
b(3,3): [ \mathbf{b}(3,3) = (\mathbf{a}(2,3) \cdot \mathbf{t}{(2,3)}(3,3)) + (\mathbf{a}(3,3) \cdot \mathbf{t}(3,3)) = (1 \cdot (-1) + 6 \cdot 2) = 11 ]
Resultado
Exemplo: Máximo Aditivo pela Esquerda
Máximo aditivo pela esquerda \( \mathbf{b} = \mathbf{t} \boxed{\vee} \mathbf{a} \):
Cálculos
b(1,1): [ \mathbf{b}(1,1) = (\mathbf{a}(1,1) + \mathbf{t}{(1,1)}(1,1)) \vee (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}(1,1)) = (1+2 \vee 2+1) = 3 ]
b(1,2): [ \mathbf{b}(1,2) = (\mathbf{a}(1,2) + \mathbf{t}{(1,2)}(1,2)) \vee (\mathbf{a}(1,3) + \mathbf{t}(1,2)) = (2+2 \vee 3+1) = 4 ]
b(3,3): [ \mathbf{b}(3,3) = (\mathbf{a}(2,3) + \mathbf{t}{(2,3)}(3,3)) \vee (\mathbf{a}(3,3) + \mathbf{t}(3,3)) = (1+(-1) \vee 6+2) = 8 ]
Resultado
Comparação dos Resultados
| Operação | Resultado |
|---|---|
| Convolução linear \( \mathbf{a} \oplus \mathbf{t} \) | Soma de produtos ponto a ponto |
| Max morfológico \( \mathbf{a} \boxed{\vee} \mathbf{t} \) | Máximo das somas |
| Min aditivo \( \mathbf{a} \boxed{\wedge} \mathbf{t} \) | Mínimo das somas |
| Convolução esquerda \( \mathbf{t} \oplus \mathbf{a} \) | Usa template transposto |
| Max esquerda \( \mathbf{t} \boxed{\vee} \mathbf{a} \) | Máximo com transposto |