Conceitos Importantes

Suporte

Definição

O suporte de \( \mathbf{t}_{\mathbf{y}} \) é definido como:

\[ S(\mathbf{t}_{\mathbf{y}}) = \{\mathbf{x} \in \mathbf{X} : \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \neq 0\} \]

Sobre estruturas algébricas gerais, define-se em relação ao elemento neutro da operação.

Suporte para Reais Estendidos

Para os reais estendidos temos o suporte em \( +\infty \) e \( -\infty \):

\[ S_{\infty}(\mathbf{t}_{\mathbf{y}}) = \{\mathbf{x} \in \mathbf{X} : \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \neq \infty\} \]

\[ S_{-\infty}(\mathbf{t}_{\mathbf{y}}) = \{\mathbf{x} \in \mathbf{X} : \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \neq -\infty\} \]

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Invariância a Translação

Definição

Se \( (\mathbf{X}, +) \) forma um grupo, então o template \( \mathbf{t} \in (\mathbb{F}^{\mathbf{X}})^{\mathbf{X}} \) é invariante a translação se para qualquer tripla \( \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbf{X} \) temos:

\[ \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \mathbf{t}_{\mathbf{y}+\mathbf{z}}(\mathbf{x} + \mathbf{z}) \]

Exemplo

Seja \( \mathbf{X} = \mathbb{Z}^2 \) e \( \mathbf{y} = (x, y) \) um ponto arbitrário de \( \mathbf{X} \). Vamos também definir:

\[ \mathbf{x}_1 = (x, y - 1), \qquad \mathbf{x}_2 = (x + 1, y), \qquad \mathbf{x}_3 = (x + 1, y - 1) \]

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Exemplo de Template Invariante

Vamos então definir o template \( \mathbf{t} \in (\mathbb{R}^{\mathbf{X}})^{\mathbf{X}} \) com os seguintes pesos:

\[ \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{y}) = 1, \qquad \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}_1) = 3, \qquad \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}_2) = 2, \qquad \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}_3) = 4 \]

e \( \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = 0 \) para qualquer \( \mathbf{x} \) fora que \( \{\mathbf{y}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3\} \).

Janela Deslizante

A figura abaixo ilustra graficamente o template agindo como uma "janela deslizante".

	y-1	y
x	3	1
x+1	4	2

Interpretação

O template invariante a translação é essencialmente uma janela deslizante que mantém os mesmos pesos relativos conforme se move pela imagem.

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Resumo

Conceito	Definição
Suporte	\( S(\mathbf{t}_{\mathbf{y}}) = \{\mathbf{x} : \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \neq 0\} \)
Suporte em \( \infty \)	Pontos onde \( \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \neq \infty \)
Invariância a translação	\( \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) = \mathbf{t}_{\mathbf{y}+\mathbf{z}}(\mathbf{x} + \mathbf{z}) \)
Janela deslizante	Template invariante que mantém pesos relativos

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Verificação da Invariância

Para verificar a invariância a translação podemos partir, por exemplo, de:

\[ \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}_1) = 3 \]

e escolher \( \mathbf{z} = (1, 1) \). Vamos então atualizar \( \mathbf{x} \) e \( \mathbf{y} \):

\[ \mathbf{y} \leftarrow \mathbf{y} + \mathbf{z} = (x + 1, y + 1) \qquad \mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x}_1 + \mathbf{z} = (x + 1, y) \]

Mas, se as coordenadas atualizadas de \( \mathbf{y} \) forem renomeadas para \( (x, y) \), então as coordenadas de \( \mathbf{x} \) atualizado passam a ser escritas como \( (x, y - 1) \), o que é exatamente a definição de \( \mathbf{x}_1 \). Portanto:

\[ \mathbf{t}_{\mathbf{y}+\mathbf{z}}(\mathbf{x}_1 + \mathbf{z}) = \mathbf{t}_{\mathbf{y}}(\mathbf{x}_1) \]

NOTA

Todo template que possa ser representado como uma janela deslizante com pesos fixos é invariante a translação.

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Template Parametrizado

Definição

Um template \( \mathbb{F} \)-valorado parametrizado de \( \mathbf{Y} \) em \( \mathbf{X} \) com parâmetros em \( P \) é uma função:

\[ \mathbf{t} : P \rightarrow (\mathbb{F}^{\mathbf{X}})^{\mathbf{Y}} \]

\( P \) é chamado conjunto de parâmetros e cada \( p \in P \) é um parâmetro de \( \mathbf{t} \).

Família de Templates

Na prática, este tipo de template gera uma família de templates \( \mathbb{F} \)-valorados de \( \mathbf{Y} \) em \( \mathbf{X} \):

\[ \{\mathbf{t}(p) \in (\mathbb{F}^{\mathbf{X}})^{\mathbf{Y}} : p \in P\} \]

Aplicação

Templates parametrizados são úteis para criar filtros adaptativos onde os pesos variam de acordo com algum parâmetro (como escala, orientação, etc.).