Operações em Imagens Multi-valoradas

Introdução

Embora nas definições que vimos até agora \( \mathbb{F} \) possa ser multi-valorado, alguns casos merecem atenção especial.

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Imagens Vetoriais

Um caso particular são as imagens vetoriais. Se \( \mathbb{F} = \mathbb{R}^n \), então a imagem \( \mathbf{a} \in (\mathbb{R}^n)^{\mathbf{X}} \) é um vetor da forma:

\[ \mathbf{a}(\mathbf{x}) = (\mathbf{a}_1(\mathbf{x}), \ldots, \mathbf{a}_n(\mathbf{x})) \]

em que cada \( \mathbf{a}_i(\mathbf{x}) \in \mathbb{R} \).

Operações Generalizadas

Se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in (\mathbb{R}^n)^{\mathbf{X}} \), as operações já conhecidas são generalizadas. Por exemplo:

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (\mathbf{a}_1 + \mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{a}_n + \mathbf{b}_n) \]

ou ainda se \( \mathbf{r} = (r_1, \ldots, r_n) \in \mathbb{R}^n \):

\[ \mathbf{r} + \mathbf{a} = (r_1 + \mathbf{a}_1, \ldots, r_n + \mathbf{a}_n) \]

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Operações com Sequência de Operações

Outra generalização é substituir a operação binária \( \gamma \) por uma sequência de operações \( \gamma_j : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) de modo que:

\[ \mathbf{a} \gamma \mathbf{b} \equiv (\mathbf{a} \gamma_1 \mathbf{b}, \ldots, \mathbf{a} \gamma_n \mathbf{b}) \]

Exemplo: Imagens Complexo-valoradas

Por exemplo, se \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \) são duas operações binárias \( \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) definidas por:

\[ (x_1, x_2) \gamma_1 (y_1, y_2) = x_1 y_1 - x_2 y_2 \]

\[ (x_1, x_2) \gamma_2 (y_1, y_2) = x_1 y_2 + x_2 y_1 \]

Se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in (\mathbb{R}^2)^{\mathbf{X}} \) são imagens complexo-valoradas, o produto ponto-a-ponto \( \mathbf{c} = \mathbf{a} \gamma \mathbf{b} \) é dado por:

\[ \mathbf{c}(\mathbf{x}) = (\mathbf{a}_1(\mathbf{x})\mathbf{b}_1(\mathbf{x}) - \mathbf{a}_2(\mathbf{x})\mathbf{b}_2(\mathbf{x}), \mathbf{a}_1(\mathbf{x})\mathbf{b}_2(\mathbf{x}) + \mathbf{a}_2(\mathbf{x})\mathbf{b}_1(\mathbf{x})) \]

Interpretação

Essa é a fórmula do produto de números complexos \( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \).

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Máximo e Mínimo na j-ésima Coordenada

Outras duas operações importantes são o máximo e mínimo na \( j \)-ésima coordenada ("vencedor leva tudo").

Se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in (\mathbb{R}^n)^{\mathbf{X}} \), o máximo na j-ésima coordenada é dado por:

\[ \mathbf{a} \vee |_j \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \text{ se } \mathbf{a}_j(\mathbf{x}) \geq \mathbf{b}_j(\mathbf{x}), \text{ caso contrário } \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \]

e o mínimo por:

\[ \mathbf{a} \wedge |_j \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \text{ se } \mathbf{a}_j(\mathbf{x}) \leq \mathbf{b}_j(\mathbf{x}), \text{ caso contrário } \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \]

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Operações Unárias Induzidas

Operações unárias também podem ser induzidas com funções como antes.

Seja \( f \) uma função \( \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \):

\[ f(x_1, \ldots, x_n) \equiv (f(x_1), \ldots, f(x_n)) \]

Esta função pode gerar então uma operação unária sobre a imagem \( \mathbf{a} \in (\mathbb{R}^n)^{\mathbf{X}} \):

\[ f(\mathbf{a}) \equiv f \circ \mathbf{a} = (f(\mathbf{a}_1), \ldots, f(\mathbf{a}_n)) \]

Exemplo

Como exemplo, a função \( f = \sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gera:

\[ \sin(\mathbf{a}) = (\sin(\mathbf{a}_1), \ldots, \sin(\mathbf{a}_n)) \]

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Funções com Componentes Diferentes

Podemos também definir uma função \( f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) que age diferentemente em cada componente:

\[ f(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_m(\mathbf{x})) \]

a qual gera a operação:

\[ f(\mathbf{a}) = (f_1(\mathbf{a}), \ldots, f_m(\mathbf{a})) = \{(\mathbf{x}, \mathbf{b}(\mathbf{x})) : \mathbf{b}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{a}(\mathbf{x})), \ldots, f_m(\mathbf{a}(\mathbf{x})))\} \]

Aplicação

Essa generalização permite transformações de espaço de cores, como conversão RGB → HSV, onde cada componente tem uma fórmula diferente.

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Resumo

Tipo	Notação	Descrição
Soma vetorial	\( \mathbf{a} + \mathbf{b} \)	Soma componente a componente
Produto complexo	\( \mathbf{a} \gamma \mathbf{b} \)	Produto de números complexos pixel a pixel
Máximo j-ésima	\( \mathbf{a} \vee \|_j \mathbf{b} \)	Vetor de \( \mathbf{a} \) ou \( \mathbf{b} \) baseado na j-ésima coord.
Mínimo j-ésima	\( \mathbf{a} \wedge \|_j \mathbf{b} \)	Vetor de \( \mathbf{a} \) ou \( \mathbf{b} \) baseado na j-ésima coord.
Operação unária	\( f(\mathbf{a}) \)	Função aplicada em cada componente

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Exemplo: Seno Complexo

Vamos exemplificar com duas funções \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \):

\[ f_1(x, y) = \sin(x) + \cosh(y) \quad \text{e} \quad f_2(x, y) = \cos(x) + \sinh(y) \]

A função \( f : (\mathbb{R}^2)^{\mathbf{X}} \rightarrow (\mathbb{R}^2)^{\mathbf{X}} \) aplicada sobre a imagem \( \mathbf{a} \) resulta em:

\[ f(\mathbf{a}) = \{(\mathbf{x}, \mathbf{b}(\mathbf{x})) : \mathbf{b}(\mathbf{x}) = (\sin(\mathbf{a}_1(\mathbf{x})) + \cosh(\mathbf{a}_2(\mathbf{x})), \cos(\mathbf{a}_1(\mathbf{x})) + \sinh(\mathbf{a}_2(\mathbf{x}))), \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \]

Interpretação

A função \( f \) acima representa a aplicação da função seno complexo sobre uma imagem com componentes complexos.

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Redução Global Vetorial

Por fim, temos também as operações de redução global. Por exemplo:

\[ \sum \mathbf{a} = \left( \sum \mathbf{a}_1, \ldots, \sum \mathbf{a}_n \right) = \left( \sum_{j=1}^{k} \mathbf{a}_1(\mathbf{x}_j), \ldots, \sum_{j=1}^{k} \mathbf{a}_n(\mathbf{x}_j) \right) \in \mathbb{R}^n \]

Aplicação

A redução global vetorial é útil para calcular estatísticas por canal em imagens coloridas, como a soma total de cada componente RGB.