Especificação Funcional
Introdução
Conceitos classicamente associados a funções podem ser definidos também para operações em imagens baseadas em funções.
Restrição em Domínio
Por exemplo, a restrição de \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \) ao subconjunto \( \mathbf{Z} \in \mathbf{X} \) é definida por:
Interpretação
A restrição em domínio "recorta" a imagem, mantendo apenas os pixels cujas coordenadas pertencem ao conjunto \( \mathbf{Z} \).
Restrição em Contradomínio
Temos também a restrição em relação ao contradomínio. Se \( S \subset \mathbb{F} \) e \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \), então a restrição de \( \mathbf{a} \) a \( S \) é denotada:
A restrição em contradomínio pode ser muito útil.
Exemplo: Limiarização
Por exemplo, a limiarização que vimos de uma imagem \( \mathbf{a} \in \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \) por um limiar \( k \) pode ser redefinida como:
correspondendo à imagem restrita aos pontos de \( \mathbf{X} \) em que \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \geq k \).
Exemplo Prático (MATLAB)
clear;
img = imread('cameraman.png'); img = double(img); img = img/255;
[nl, nc] = size(img);
% Restrição em domínio (círculo de raio 50)
for i = 1:nl
for j = 1:nc
if (i - nl/2)^2 + (j - nc/2)^2 <= 2500
img2(i, j) = img(i, j);
else
img2(i, j) = 0;
end
end
end
% Restrição em contradomínio (valores primos)
for i = 1:nl
for j = 1:nc
if isprime(round(img(i, j) * 255))
img3(i, j) = img(i, j);
else
img3(i, j) = 0;
end
end
end
figure; imshow(img2); title('Restricao de dominio');
figure; imshow(img3); title('Restricao de contradominio');
Resultado Visual
| Imagem | Descrição |
|---|---|
| a (Original) | Imagem Cameraman |
| a|círculo | Restrição em domínio: apenas pixels dentro do círculo de raio 50 |
| a||primo | Restrição em contradomínio: apenas pixels cujo valor (0-255) é primo |
Restrição com Imagem como Conjunto
O conjunto \( S \) também pode ser uma imagem: \( S \in (2^{\mathbb{F}})^{\mathbf{X}} \), e neste caso:
Exemplo
Por exemplo, se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \):
Definição Geral
Combinando a restrição em domínio com a de contradomínio temos a definição geral.
Seja \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \), \( \mathbf{Z} \subset \mathbf{X} \), \( S \subset \mathbb{F} \), então a restrição de \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{Z} \) e \( S \) é dada por:
Resumo
| Tipo de Restrição | Notação | Condição |
|---|---|---|
| Domínio | \( \mathbf{a}\|_{\mathbf{Z}} \) | \( \mathbf{x} \in \mathbf{Z} \) |
| Contradomínio | \( \mathbf{a}\|\|_S \) | \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \in S \) |
| Contradomínio (imagem) | \( \mathbf{a}\|\|_S \) | \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \in S(\mathbf{x}) \) |
| Geral | \( \mathbf{a}\|\|_{\mathbf{Z},S} \) | \( \mathbf{x} \in \mathbf{Z} \) e \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \in S \) |
Restrição em Relação a Outra Imagem
clear;
img1 = imread('cameraman.png'); img1 = double(img1); img1 = img1/255;
img2 = imread('peppers.png'); img2 = double(img2); img2 = img2/255;
[nl, nc] = size(img1);
for i = 1:nl
for j = 1:nc
if img1(i, j) <= img2(i, j)
img3(i, j) = img2(i, j);
else
img3(i, j) = 0;
end
end
end
figure; imshow(img3); title('Restricao em relacao a outra imagem');
Resultado Visual
| Imagem | Descrição |
|---|---|
| a | Cameraman |
| b | Peppers |
| b||≥a | Pixels de b onde \( \mathbf{b}(\mathbf{x}) \geq \mathbf{a}(\mathbf{x}) \) |
Extensão de Imagem
Outro conceito importante é o de extensão de \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \) a \( \mathbf{b} \in \mathbb{F}^{\mathbf{Y}} \), em que \( \mathbf{X} \) e \( \mathbf{Y} \) são subconjuntos do mesmo espaço topológico:
Range (Contradomínio)
Outro conceito elementar é o de contradomínio (range), que aqui expressaremos pela função:
definida por:
Domain (Domínio)
Igualmente temos também a função de domínio:
O domínio é então definido por:
Exemplo
Por exemplo:
é o conjunto de pontos \( \mathbf{x} \in \mathbf{X} \) para os quais \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) > k \).
Concatenação de Imagens
Outro conceito relacionado é o de concatenação de imagens.
Concatenação em Linha
A concatenação em linha de \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n} \) é denotada \( (\mathbf{a}|\mathbf{b}) \) e dada na nossa linguagem por:
de modo que o resultado \( (\mathbf{a}|\mathbf{b}) \in \mathbb{F}^{\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_{n+k}} \).
Concatenação Recursiva
A concatenação de um grupo de mais de duas imagens se define recursivamente:
Aplicação
A concatenação é útil para criar mosaicos, panoramas e visualizações lado a lado de imagens.
Concatenação em Coluna
Enquanto que a concatenação em coluna se faz usando a transposta: