Operações Binárias Induzidas por Operações Unárias

Introdução

As mesmas funções que induzem operações unárias podem também induzir as binárias.

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Exponenciação de Imagens

Seja a função exponencial \( f : \mathbb{R}^{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(r) = r^k \), sendo \( k \) um real não-negativo.

Esta função induz a operação unária:

\[ \mathbf{a}^k = \{(\mathbf{x}, \mathbf{b}(\mathbf{x})) : \mathbf{b}(\mathbf{x}) = [\mathbf{a}(\mathbf{x})]^k, \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \]

Extensão para Operação Binária

Se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in (\mathbb{R}^{\geq 0})^{\mathbf{X}} \), esta pode então ser estendida para a seguinte operação binária:

\[ \mathbf{a}^{\mathbf{b}} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x})^{\mathbf{b}(\mathbf{x})}\} \]

Logaritmo de Imagens

Definimos logaritmo similarmente:

\[ \log_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \log_{\mathbf{b}(\mathbf{x})} \mathbf{a}(\mathbf{x})\} \]

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Pseudo-Inversa

Por fim, como tais operações podem levar a valores indeterminados como divisões por zero, a álgebra de imagens permite a definição de uma pseudo-inversa:

\[ \mathbf{a}^{-1} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{b}(\mathbf{x})) : \mathbf{b}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\mathbf{a}(\mathbf{x})} \text{ se } \mathbf{a}(\mathbf{x}) \neq 0, \mathbf{b}(\mathbf{x}) = 0 \text{ caso contrário}\} \]

Tratamento de Zero

A pseudo-inversa evita divisão por zero atribuindo 0 aos pixels onde \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) = 0 \).

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Exemplos Matriciais

Considere as imagens \( \mathbf{a} \) e \( \mathbf{b} \) representadas pelas matrizes:

\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & -4 & 6 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \]

Soma \( \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \)

\[ C = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 5 & 5 & 5 \\ 0 & -2 & 6 \end{bmatrix} \]

Exponenciação \( \mathbf{c} = \mathbf{a}^{\mathbf{b}} \)

\[ C = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 1 & 8 \\ 1 & 16 & 1 \end{bmatrix} \]

Cálculo

• \( 4^1 = 4, 1^1 = 1, (-1)^{-1} = -1 \)
• \( 3^2 = 9, 5^0 = 1, 2^3 = 8 \)
• \( 1^{-1} = 1, (-4)^2 = 16, 6^0 = 1 \)

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Código MATLAB: Pseudo-Inversa

clear;
img = imread('barbara.png'); img = double(img); img = img/255;
[nl, nc] = size(img);
for i = 1:nl
    for j = 1:nc
        if img(i, j) ~= 0
            img2(i, j) = 1/img(i, j);
        else
            img2(i, j) = 0;
        end
    end
end
img2 = img2/max(img2(:));  % normalização
imshow(img2);

Normalização

A normalização final (img2/max(img2(:))) é necessária pois a inversa pode gerar valores muito altos onde \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \) é muito pequeno.

Resultado Visual

Imagem	Descrição
a (Original)	Imagem Barbara
a⁻¹ (Inversa)	Regiões claras ficam escuras e vice-versa

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Resumo

Operação	Notação	Definição
Exponenciação unária	\( \mathbf{a}^k \)	\( [\mathbf{a}(\mathbf{x})]^k \)
Exponenciação binária	\( \mathbf{a}^{\mathbf{b}} \)	\( \mathbf{a}(\mathbf{x})^{\mathbf{b}(\mathbf{x})} \)
Logaritmo	\( \log_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \)	\( \log_{\mathbf{b}(\mathbf{x})} \mathbf{a}(\mathbf{x}) \)
Pseudo-inversa	\( \mathbf{a}^{-1} \)	\( 1/\mathbf{a}(\mathbf{x}) \) ou 0