Composição Funcional

Introdução

Uma operação unária \( \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \rightarrow \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \) pode ser induzida por uma composição com a função \( f : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F} \):

\[ f(\mathbf{a}) = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}(\mathbf{x})), \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \]

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Exemplo: Função Seno

Por exemplo, a função \( \sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) induz a operação unária \( \sin : \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \):

\[ \sin(\mathbf{a}) = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \sin(\mathbf{a}(\mathbf{x})), \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \]

Código MATLAB

img1 = imread('barbara.png');
img1 = double(img1);
img1 = img1/255*2*pi;   % imagem normalizada entre 0 e 2pi
[nl, nc] = size(img1);
img2 = zeros(nl, nc);
for i = 1:nl
    for j = 1:nc
        img2(i, j) = sin(img1(i, j));
    end
end
imshow(img2);

Resultado Visual

Imagem	Descrição
Original	Imagem Barbara normalizada entre 0 e \( 2\pi \)
Seno	Aplicação de \( \sin \) pixel a pixel - cria efeito de ondulação

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Exemplo: Função Característica (Binarização)

Outro exemplo é a função característica:

\[ \chi_{\geq k}(r) = \begin{cases} 1 & \text{se } r \geq k \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \]

Assim uma imagem \( \mathbf{a} \in \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \) pode ser binarizada por \( \chi_{\geq k}(\mathbf{a}) \), que atribuirá 1 à posição \( \mathbf{x} \) se \( \mathbf{a}(\mathbf{x}) \geq k \) e 0 caso contrário.

Código MATLAB

img1 = imread('peppers.png');
img1 = double(img1);
img1 = img1/255;
[nl, nc] = size(img1);
img2 = img1 >= 0.5;     % binarização com limiar k = 0.5
imshow(img2);

Resultado Visual

Imagem	Descrição
Original	Imagem Peppers em escala de cinza
\( \chi_{\geq 0.5}(\mathbf{a}) \)	Imagem binarizada - branco onde \( a(x) \geq 0.5 \), preto caso contrário

Aplicação

A binarização por limiar é uma das operações mais básicas em segmentação de imagens, separando objetos do fundo com base na intensidade.

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Resumo

Função	Operação Induzida	Resultado
\( \sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)	\( \sin(\mathbf{a}) \)	Efeito de ondulação
\( \chi_{\geq k} : \mathbb{R} \rightarrow \{0, 1\} \)	\( \chi_{\geq k}(\mathbf{a}) \)	Binarização
\( \log : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} \)	\( \log(\mathbf{a}) \)	Compressão de faixa dinâmica
\( \exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \)	\( \exp(\mathbf{a}) \)	Expansão de faixa dinâmica
\( f^{-1} \) (inversa)	\( f^{-1}(\mathbf{a}) \)	Negativo da imagem

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Limiarização por Intervalo

Uma variante da função característica é a limiarização por intervalo:

\[ \chi_{[j,k]}(r) = \begin{cases} 1 & \text{se } j \leq r \leq k \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \]

A qual permite a limiarização (thresholding) de uma imagem \( \mathbf{a} \), definida na linguagem da álgebra de imagens como:

\[ \mathbf{b} := \mathbf{a} \cdot \chi_{[j,k]}(\mathbf{a}) \]

equivalente a:

\[ \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{b}(\mathbf{x})) : \mathbf{b}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \text{ se } j \leq \mathbf{a}(\mathbf{x}) \leq k, \mathbf{b}(\mathbf{x}) = 0 \text{ caso contrário}\} \]

Código MATLAB

img1 = imread('peppers.png');
img1 = double(img1);
img1 = img1/255;
[nl, nc] = size(img1);
img2 = img1 .* (img1 >= 0.3 & img1 <= 0.7);
imshow(img2);

Resultado Visual

Imagem	Descrição
Original	Imagem Peppers
\( \mathbf{a} \cdot \chi_{[0.3,0.7]}(\mathbf{a}) \)	Pixels fora do intervalo [0.3, 0.7] ficam pretos

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Composição sobre Domínio Espacial

A função também pode agir entre domínios espaciais distintos. Se \( f : \mathbf{Y} \rightarrow \mathbf{X} \) e \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \), a imagem induzida \( \mathbf{a} \circ f \in \mathbb{F}^{\mathbf{Y}} \) será dada por:

\[ \mathbf{a} \circ f = \{(\mathbf{y}, f(\mathbf{y})) : \mathbf{y} \in \mathbf{Y}\} \]

Exemplo: Deslocamento (Translação)

Exemplo é a transformação de deslocamento de uma imagem \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \), sendo \( \mathbf{X} \subset \mathbb{Z}^2 \).

Se \( \mathbf{y} \in \mathbb{Z}^2 \), temos o deslocamento de \( \mathbf{a} \) por \( \mathbf{y} \) dado por:

\[ \mathbf{a} + \mathbf{y} = \{(\mathbf{z}, \mathbf{b}(\mathbf{z})) : \mathbf{b}(\mathbf{z}) = \mathbf{a}(\mathbf{z} - \mathbf{y}), \mathbf{z} \in \mathbf{X} + \mathbf{y}\} \]

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Transposta de Imagem

Outra transformação espacial unária que pode mudar domínio é a transposta.

Dada a imagem \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n} \), sua transposta é dada por:

\[ \mathbf{a}' \equiv \mathbf{a} \circ f \]

em que:

\[ f : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \]

satisfazendo:

\[ f(x, y) = (y, x) \]

Geometricamente

A transposta equivale a uma reflexão em relação à diagonal principal da imagem.