Operações sobre Imagens
Introdução
Vejamos as operações sobre ou entre imagens \( \mathbb{F} \)-valoradas.
Se \( \gamma \) é uma operação binária em \( \mathbb{F} \), ela também será uma operação binária em \( \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \).
Operações Binárias entre Imagens
Partindo de \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{F} \), a operação será dada por:
Exemplo com estrutura \( (\mathbb{R}, +, \cdot, \vee, \wedge) \)
Seja a estrutura \( (\mathbb{R}, +, \cdot, \vee, \wedge) \) e \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{\mathbf{X}} \). Então teremos:
| Operação | Definição |
|---|---|
| Adição | \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) + \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
| Produto | \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
| Máximo | \( \mathbf{a} \vee \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \vee \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
| Mínimo | \( \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \wedge \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
Operações Escalares
Similarmente, temos as operações escalares \( \gamma \). Se \( k \in \mathbb{F} \) e \( \mathbf{a} \in \mathbb{F}^{\mathbf{X}} \):
Imagens Reais
No caso das imagens reais, para \( k \in \mathbb{R} \):
| Operação | Definição |
|---|---|
| Multiplicação | \( k \cdot \mathbf{a} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = k \cdot \mathbf{a}(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \) |
| Adição | \( k + \mathbf{a} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = k + \mathbf{a}(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \) |
Exemplo Prático (MATLAB)
img1 = imread('cameraman.png'); img1 = double(img1); img1 = img1/255;
img2 = imread('goldhill.png'); img2 = double(img2); img2 = img2/255;
img3 = imread('cat.png'); img3 = double(img3); img3 = img3/255;
img4 = imread('rabbit.png'); img4 = double(img4); img4 = img4/255;
[nl, nc] = size(img1); % presume-se que todas as imagens tenham o mesmo tamanho
img_soma = zeros(nl, nc); img_max = zeros(nl, nc);
for i = 1:nl
for j = 1:nc
img_soma(i, j) = img1(i, j) + img2(i, j);
img_max(i, j) = max(img3(i, j), img4(i, j));
end
end
figure; imshow(img_soma); title('Soma de imagens');
figure; imshow(img_max); title('Maximo de imagens');
Resultados Visuais
| Operação | Imagens de Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Soma \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) | Cameraman + Goldhill | Sobreposição das duas imagens |
| Máximo \( \mathbf{a} \vee \mathbf{b} \) | Cat + Rabbit | União das silhuetas |
Exemplo Matricial
Seja a imagem \( \mathbf{a} \in (\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3)^{\mathbb{R}} \) com valores dados pela matriz \( A_{ij} \):
Para \( k = 4 \) teríamos a matriz para \( k \cdot \mathbf{a} \):
E para \( k + \mathbf{a} \):
Multiplicação por Escalar (Visual)
img1 = imread('baboon.png'); img1 = double(img1); img1 = img1/255;
[nl, nc] = size(img1);
img_mult = 0.5 * img1;
imshow(img_mult);
A imagem resultante tem brilho reduzido proporcionalmente ao fator \( k = 0.5 \).
Imagens Conjunto-Valoradas
Sobretudo em aplicações de alto nível em visão computacional, podemos nos deparar com imagens vetoriais ou com um conjunto de valores associado a cada pixel.
Uma imagem conjunto-valorada tem a forma:
A estrutura algébrica é \( (2^{\mathbb{F}}, \cup, \cap, \tilde{}) \), em que \( \tilde{} \) denota o complemento de conjunto.
Se \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \in (2^{\mathbb{F}})^{\mathbf{X}} \):
| Operação | Definição |
|---|---|
| União | \( \mathbf{a} \cup \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \cup \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
| Interseção | \( \mathbf{a} \cap \mathbf{b} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}(\mathbf{x}) \cap \mathbf{b}(\mathbf{x})\} \) |
| Complemento | \( \tilde{\mathbf{a}} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{c}(\mathbf{x})) : \mathbf{c}(\mathbf{x}) = \mathbb{F} \setminus \mathbf{a}(\mathbf{x})\} \) |
Redução Global
Assim como o complemento, existem outras operações unárias importantes. Uma destas é a redução global.
Se \( \gamma \) é uma operação binária associativa e comutativa em \( \mathbb{F} \) e \( \mathbf{X} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n\} \) é finito, então a redução global induzida por \( \gamma \) será:
definida por:
Exemplo
Por exemplo, se \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) e \( \gamma = + \), então \( \Gamma = \sum \) e:
Aplicação
A soma global é usada para calcular a intensidade total de uma imagem, útil em normalização e análise estatística.
Exemplo Prático (MATLAB)
img1 = imread('baboon.png'); % le imagem e passa a matriz para a variavel
img1 = double(img1); % para que calculos com numeros reais possam ser feitos
img1 = img1/255; % imagem normalizada entre 0 e 1
[nl, nc] = size(img1); % dimensoes da imagem
S1 = 0; % S1 armazena a soma global da 1a imagem
for i = 1:nl
for j = 1:nc
S1 = S1 + img1(i, j);
end
end
%------------------------------------------
img2 = imread('cameraman.png'); % le imagem 2
img2 = double(img2);
img2 = img2/255;
[nl, nc] = size(img2);
S2 = 0; % S2 armazena a soma global da imagem 2
for i = 1:nl
for j = 1:nc
S2 = S2 + img2(i, j);
end
end
Resultado Visual
| Imagem | Soma Global | Interpretação |
|---|---|---|
| Baboon | \( \Sigma \mathbf{a} = 3.3 \times 10^4 \) | Imagem mais escura |
| Cameraman | \( \Sigma \mathbf{a} = 9.1 \times 10^4 \) | Imagem mais clara |
Observação
A soma global reflete a intensidade média da imagem. Imagens mais claras têm soma global maior.