Conjuntos de Valores

Introdução

A coleção de pontos, conjuntos de pontos e escalares e das operações que vimos formam uma álgebra heterogênea.

• Conjuntos operados podem conter diferentes tipos de elementos com tipos específicos de operadores para cada elemento
• Já uma álgebra homogênea envolve conjuntos com um mesmo tipo de elementos e um conjunto fixo de operadores sobre estes elementos

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Definição

Chamaremos álgebras homogêneas aqui de conjuntos de valores e denotaremos por \( \mathbb{E}, \mathbb{F} \) e \( \mathbb{G} \).

Exemplos de Conjuntos de Valores

Conjunto	Descrição
\( \mathbb{Z} \)	Inteiros
\( \mathbb{R} \)	Reais
\( \mathbb{C} \)	Complexos
\( \mathbb{Z}_{2^k} \)	Binários de comprimento \( k \)
\( \mathbb{R}_{+\infty} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \)	Reais estendidos (+∞)
\( \mathbb{R}_{-\infty} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \)	Reais estendidos (-∞)
\( \mathbb{R}_{\pm\infty} = \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\} \)	Reais estendidos (±∞)
\( \mathbb{R}_\infty^{\geq 0} = \mathbb{R}^+ \cup \{0, +\infty\} \)	Reais não-negativos estendidos

Reais Estendidos

Reais contendo \( \pm\infty \) são chamados reais estendidos.

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Estruturas Algébricas

Estruturas algébricas: conjunto + operações.

Exemplos

Estrutura	Operações
\( (\mathbb{R}, \vee, \wedge, +, \cdot) \)	Máximo, mínimo, soma, produto
\( (\mathbb{Z}, \vee, \wedge, +, \cdot) \)	Máximo, mínimo, soma, produto
\( (\mathbb{Z}_{2^k}, \vee, \wedge, +, \cdot) \)	Operações mod \( 2^k \)
\( (\mathbb{C}, +, \cdot) \)	Soma, produto (não ordenado)

Atenção

No caso de \( \mathbb{Z}_{2^k} \), a adição e multiplicação são mod \( 2^k \).

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Reais Estendidos com Máximo

Para \( \mathbb{R}_{\pm\infty} \) podemos ter a estrutura:

\[ (\mathbb{R}_{\pm\infty}, \vee, +) \]

se assumirmos que:

Operação	Resultado	Condição
\( a + (-\infty) = (-\infty) + a \)	\( -\infty \)	\( \forall a \in \mathbb{R}_{-\infty} \)
\( a + (+\infty) = (+\infty) + a \)	\( +\infty \)	\( \forall a \in \mathbb{R}_{+\infty} \)
\( (-\infty) + (+\infty) = (+\infty) + (-\infty) \)	\( -\infty \)
\( a \vee (-\infty) = (-\infty) \vee a \)	\( a \)	\( \forall a \in \mathbb{R}_{\pm\infty} \)
\( a \vee (+\infty) = (+\infty) \vee a \)	\( +\infty \)	\( \forall a \in \mathbb{R}_{\pm\infty} \)

Elemento Nulo

Tratando \( + \) como uma multiplicação e \( \vee \) como uma adição, \( -\infty \) age como elemento nulo na estrutura acima.

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Estrutura Dual

Temos também a estrutura dual de \( (\mathbb{R}_{\pm\infty}, \vee, +) \) em que \( +\infty \) age como nulo:

\[ (\mathbb{R}_{\pm\infty}, \wedge, +') \]

Operador \( +' \) (Dual)

Operação	Resultado	Condição
\( a +' b \)	\( a + b \)	\( a, b \in \mathbb{R} \)
\( a +' (-\infty) = (-\infty) +' a \)	\( -\infty \)	\( a \in \mathbb{R}_{-\infty} \)
\( a +' (+\infty) = (+\infty) +' a \)	\( +\infty \)	\( a \in \mathbb{R}_{+\infty} \)
\( (-\infty) +' (+\infty) = (+\infty) +' (-\infty) \)	\( +\infty \)
\( a \wedge (+\infty) = (+\infty) \wedge a \)	\( a \)	\( a \in \mathbb{R}_{\pm\infty} \)
\( a \wedge (-\infty) = (-\infty) \wedge a \)	\( -\infty \)	\( a \in \mathbb{R}_{\pm\infty} \)

Equivalência

Note que \( + \) e \( +' \) se equivalem exceto quando operam entre \( -\infty \) e \( +\infty \).

Estrutura Resultante

A estrutura conjunta \( (\mathbb{R}_{\pm\infty}, \vee, \wedge, +, +') \) é um grupo ordenado aditivo de reticulado limitado.

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Elemento Dual (Conjugado)

A estrutura dual aditiva leva ao conceito de elemento dual (ou conjugado) aditivo \( r^* \) para todo \( r \in \mathbb{R}_{\pm\infty} \):

\[ r^* \equiv \begin{cases} -r & \text{se } r \in \mathbb{R} \\ -\infty & \text{se } r = +\infty \\ +\infty & \text{se } r = -\infty \end{cases} \]

Leis do Conjugado

Lei	Descrição
\( (r^*)^* = r \)	Involução
\( (r \vee t)^* = r^* \wedge t^* \)	De Morgan
\( (r \wedge t)^* = r^* \vee t^* \)	De Morgan

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Estrutura Multiplicativa

Similarmente, definimos o grupo ordenado de reticulado limitado multiplicativo:

\[ (\mathbb{R}_{+\infty}^{\geq 0}, \vee, \wedge, \times, \times') \]

onde \( \times \) é a multiplicação convencional e \( \times' \) sua dual:

Operação	Resultado	Condição
\( a \times' b \)	\( a \times b \)	\( \forall a, b \in \mathbb{R}^{\geq 0} \)
\( a \times +\infty = +\infty \times a \)	\( +\infty \)	\( a \in \mathbb{R}_{+\infty}^+ \)
\( a \times' +\infty = +\infty \times' a \)	\( +\infty \)	\( a \in \mathbb{R}_{+\infty}^+ \)
\( 0 \times +\infty = +\infty \times 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \times' +\infty = +\infty \times' 0 \)	\( +\infty \)

Elementos Nulos

• \( 0 \) é o elemento nulo em \( (\mathbb{R}_{+\infty}^{\geq 0}, \vee, \times) \)
• \( +\infty \) é o elemento nulo em \( (\mathbb{R}_{+\infty}^{\geq 0}, \wedge, \times') \)

Conjugado Multiplicativo

\[ r^* \equiv \begin{cases} r^{-1} & \text{se } r \in \mathbb{R}^+ \\ 0 & \text{se } r = +\infty \\ +\infty & \text{se } r = 0 \end{cases} \]

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Binários Estendidos

Outra estrutura importante em imagens é \( (\mathbb{Z}_2^*, \vee, \wedge, \tilde{+}, \tilde{+}') \) em que:

\[ \mathbb{Z}_2^* = (\mathbb{Z}_2)_{\pm\infty} = \{0, 1, -\infty, +\infty\} \]

As operações duais \( \tilde{+} \) e \( \tilde{+}' \) são tais que em \( \mathbb{Z}_2 = \{0, 1\} \):

\[ p \tilde{+} q = p \tilde{+}' q = \neg(p \text{ XOR } q) = p \leftrightarrow q \]

Tabelas de Operação

Operador \( \tilde{+} \):

	0	1	-∞	+∞
0	1	0	+∞	-∞
1	0	1	+∞	-∞
-∞	+∞	+∞	+∞	+∞
+∞	-∞	-∞	+∞	-∞

Operador \( \tilde{+}' \):

	0	1	-∞	+∞
0	1	0	+∞	-∞
1	0	1	+∞	-∞
-∞	+∞	+∞	+∞	-∞
+∞	-∞	-∞	-∞	+∞

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Generalização para Produto Cartesiano

Estas operações podem ser generalizadas para o produto cartesiano:

\[ \mathbb{Z}_{2^k}^* = \mathbb{Z}_2^* \times \mathbb{Z}_2^* \times \cdots \times \mathbb{Z}_2^* \]

Por exemplo, se \( m = (m_1, \ldots, m_k) \) e \( n = (n_1, \ldots, n_k) \):

\[ m \tilde{+} n = (m_1 \tilde{+} n_1, \ldots, m_k \tilde{+} n_k) \]

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Considerações Finais

• Operações unárias como \( \log, \exp, \cos \), etc., podem também ser definidas na estrutura

• Conjuntos de pontos como \( \mathbf{X} = \mathbb{R}^n \) são também conjuntos de valores e podemos definir estruturas como \( (\mathbf{X}, +) \) em que \( + \) é a adição de vetores

• Em muitas aplicações, podemos nos interessar por uma subálgebra. Por exemplo:

  • A subálgebra \( (\mathbb{R}_{-\infty}, \vee, +) \) obtida de \( (\mathbb{R}_{\pm\infty}, \vee, \wedge, +, +') \)
  • A subálgebra \( (\mathbb{N}, \vee, \wedge, +) \) obtida de \( (\mathbb{Z}, \vee, \wedge, +, \cdot) \)