Operações Entre Conjuntos de Pontos

Introdução

Operações entre conjuntos em geral podem ser aplicadas a conjuntos de pontos.

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Operações Unárias sobre Conjuntos

Complementação

Exemplo é a complementação de \( \mathbf{X} \in 2^{\mathbf{Z}} \):

\[ \tilde{\mathbf{X}} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{Z} \text{ e } \mathbf{z} \notin \mathbf{X}\} \]

Observação

Esta é uma operação unária que pode ser vista como binária se considerarmos que \( \tilde{\mathbf{X}} = \mathbf{Z} \setminus \mathbf{X} \).

Cardinalidade

Outra operação importante é a cardinalidade de \( \mathbf{X} \):

\[ card : 2^{\mathbf{Z}} \rightarrow \mathbb{N} \]

que atribui o número de elementos de \( \mathbf{X} \).

Função Escolha

A Função Escolha:

\[ choice : 2^{\mathbf{Z}} \rightarrow \mathbf{Z} \]

que retorna um elemento \( \mathbf{x} \in \mathbf{X} \) aleatoriamente.

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Supremo e Ínfimo de Conjuntos

Outra operação de interesse é o supremo de um conjunto \( \mathbf{X} \) contendo os pontos \( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k \):

\[ \sup(\mathbf{X}) = \sup(\ldots \sup(\sup(\sup(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2), \mathbf{x}_3), \mathbf{x}_4) \ldots \mathbf{x}_k) \]

Se cada ponto é representado por duas coordenadas, i.e., \( \mathbf{x}_i = (x_i, y_i) \), \( i = 1, \ldots, k \), então:

\[ \sup(\mathbf{X}) = (x_1 \vee x_2 \vee \cdots \vee x_k, \; y_1 \vee y_2 \vee \cdots \vee y_k) \]

Ínfimo

O ínfimo se define simetricamente usando \( \wedge \) (mínimo).

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Resumo: Operações Unárias

Operação	Definição
Negação	\( -\mathbf{X} = \{-\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \)
Complementação	\( \tilde{\mathbf{X}} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{Z} \text{ e } \mathbf{z} \notin \mathbf{X}\} \)
Supremo	\( \sup(\mathbf{X}) \)
Ínfimo	\( \inf(\mathbf{X}) \)
Função Escolha	\( choice(\mathbf{X}) \) (elemento aleatório)
Cardinalidade	\( card(\mathbf{X}) \)

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Operações Binárias entre Conjuntos

Operações Aritméticas

Operação	Definição
Adição	\( \mathbf{X} + \mathbf{Y} = \{\mathbf{x} + \mathbf{y} : \mathbf{x} \in \mathbf{X} \text{ e } \mathbf{y} \in \mathbf{Y}\} \)
Subtração	\( \mathbf{X} - \mathbf{Y} = \{\mathbf{x} - \mathbf{y} : \mathbf{x} \in \mathbf{X} \text{ e } \mathbf{y} \in \mathbf{Y}\} \)
Adição de ponto	\( \mathbf{X} + \mathbf{p} = \{\mathbf{x} + \mathbf{p} : \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \)
Subtração de ponto	\( \mathbf{X} - \mathbf{p} = \{\mathbf{x} - \mathbf{p} : \mathbf{x} \in \mathbf{X}\} \)

Operações de Conjuntos

Operação	Definição
União	\( \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{X} \text{ ou } \mathbf{z} \in \mathbf{Y}\} \)
Interseção	\( \mathbf{X} \cap \mathbf{Y} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{X} \text{ e } \mathbf{z} \in \mathbf{Y}\} \)
Diferença	\( \mathbf{X} \setminus \mathbf{Y} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{X} \text{ e } \mathbf{z} \notin \mathbf{Y}\} \)
Diferença Simétrica	\( \mathbf{X} \Delta \mathbf{Y} = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} \in \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} \text{ ou } \mathbf{z} \notin \mathbf{X} \cap \mathbf{Y}\} \)
Produto Cartesiano	\( \mathbf{X} \times \mathbf{Y} = \{(\mathbf{x}, \mathbf{y}) : \mathbf{x} \in \mathbf{X} \text{ e } \mathbf{y} \in \mathbf{Y}\} \)