Operações Unárias

Introdução

Como conjuntos de pontos são subconjuntos do espaço vetorial \( \mathbb{R}^n \) ou \( \mathbb{Z}^n \), eles herdam operações destes espaços.

Operações unárias importantes incluem máximos/mínimos, normas e outros.

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Máximo e Mínimo

Para \( \forall a, b \in \mathbb{R} \):

Máximo (\( \vee \))

\[ a \vee b = \begin{cases} a & \text{se } a \geq b \\ b & \text{se } a < b \end{cases} \]

Mínimo (\( \wedge \))

\[ a \wedge b = \begin{cases} b & \text{se } a \geq b \\ a & \text{se } a < b \end{cases} \]

Extensão para Vetores

Para \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbf{X} \):

\[ \bigvee_{i=1}^{n} |x_i| = |x_1| \vee |x_2| \vee \cdots \vee |x_n| = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \]

\[ \bigwedge_{i=1}^{n} |x_i| = |x_1| \wedge |x_2| \wedge \cdots \wedge |x_n| = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \]

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Normas

Tratando o ponto como vetor, definimos as normas:

Norma Euclideana (\( L^2 \))

\[ \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \]

Norma \( L^p \)

\[ \|\mathbf{x}\|_p = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{1/p} \]

Norma \( L^\infty \)

\[ \|\mathbf{x}\|_\infty = \bigvee_{i=1}^{n} |x_i| = \max\{|x_1|, \ldots, |x_n|\} \]

Projeção

Outra operação unária (\( \mathbf{X} \rightarrow \mathbb{R} \)) importante é a i-ésima projeção de \( \mathbf{X} \subset \mathbb{R}^n \), \( i = 1, \ldots, n \):

\[ p_i(\mathbf{x}) = x_i \]

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Conjunto Potência e Função Característica

Os próximos conceitos exigem a definição de conjunto potência (ou conjunto de partes) de um conjunto de pontos \( \mathbf{Z} \):

\[ 2^{\mathbf{Z}} = \{\mathbf{X} : \mathbf{X} \subset \mathbf{Z}\} \]

\(Z\) (Conjunto de Pontos): Imagine que \(Z\) é o seu "canvas" ou a sua grade de pixels. Se sua imagem é \(100 \times 100\), \(Z\) contém todas as coordenadas \((x, y)\) possíveis nessa grade.

\(X\) (Subconjunto): \(X\) é um "desenho" nesse canvas. É um conjunto de alguns pontos escolhidos dentro de \(Z\). Por exemplo, um círculo desenhado no meio da tela é um subconjunto \(X\).

\(2^Z\) (Conjunto Potência): Aqui vamos com cuidado ok? é um conceito interessante! é a coleção de todos os desenhos possíveis que você pode fazer nesse canvas. No seu simulador, \(2^Z\) representa o universo de todas as imagens binárias possíveis que o programa pode gerar.

Função Característica

Função característica sobre \( \mathbf{X} \in 2^{\mathbf{Z}} \):

\[ \chi_{\mathbf{X}} : \mathbf{Z} \rightarrow \{0, 1\} \text{ tal que } \chi_{\mathbf{X}}(\mathbf{z}) = \begin{cases} 1 & \text{se } \mathbf{z} \in \mathbf{X} \\ 0 & \text{se } \mathbf{z} \notin \mathbf{X} \end{cases} \]

É uma forma de representar a Máscara Binária (Binary Mask). Pense que você tem uma imagem vazia (tudo zero). Você quer desenhar o objeto \(X\).A função característica visita cada pixel \(z\).

Se o pixel faz parte do desenho \(X\), ela pinta de 1 (Branco/Ativo). Se o pixel é fundo, ela deixa 0 (Preto/Inativo).

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Função de Vizinhança

Dados dois conjuntos de pontos \( \mathbf{X} \) e \( \mathbf{Z} \), definimos a função de vizinhança de \( \mathbf{X} \) para \( \mathbf{Z} \) por:

\[ N(\mathbf{x}) : \mathbf{X} \rightarrow 2^{\mathbf{Z}} \]

\( N(\mathbf{x}) \) é a vizinhança de \( \mathbf{x} \) e em \( \mathbb{Z}^2 \) pode ser definida de duas formas:

Vizinhança de von Neumann (\( N(\mathbf{x}) \))

\[ N(\mathbf{x}) = \{\mathbf{y} : \mathbf{y} = (x_1 \pm j, x_2) \text{ ou } \mathbf{y} = (x_1, x_2 \pm k), j, k \in \{0, 1\}\} \]

A vizinhança de von Neumann, também conhecida como 4-vizinhança ou Conectividade-4, consiste no conjunto de pontos que compartilham uma aresta comum com o pixel central \(\mathbf{x}\).

Geometricamente, esta vizinhança corresponde aos pontos cuja Distância de Manhattan (Norma \(L^1\)) em relação a \(\mathbf{x}\) é menor ou igual a 1.

Vizinhança de Moore (\( M(\mathbf{x}) \))

\[ M(\mathbf{x}) = \{\mathbf{y} : \mathbf{y} = (x_1 \pm j, x_2 \pm k), j, k \in \{0, 1\}\} \]

A vizinhança de Moore, também conhecida como 8-vizinhança ou Conectividade-8, consiste no conjunto de pontos que compartilham uma aresta ou um vértice com o pixel central \(\mathbf{x}\).

Geometricamente, esta vizinhança corresponde aos pontos cuja Distância de Chebyshev (Norma \(L^\infty\)) em relação a \(\mathbf{x}\) é menor ou igual a 1.

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Representação Visual das Vizinhanças

Vizinhança	Forma	Conectividade
von Neumann \( N(\mathbf{x}) \)	Cruz (+)	4-conectado
Moore \( M(\mathbf{x}) \)	Quadrado 3×3	8-conectado

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Resumo Completo

Operação	Definição
Negação	\( -\mathbf{x} = (-x_1, \ldots, -x_n) \)
Teto (menor inteiro \( \geq x \))	\( \lceil \mathbf{x} \rceil = (\lceil x_1 \rceil, \ldots, \lceil x_n \rceil) \)
Piso (maior inteiro \( \leq x \))	\( \lfloor \mathbf{x} \rfloor = (\lfloor x_1 \rfloor, \ldots, \lfloor x_n \rfloor) \)
Arredondamento	\( [\mathbf{x}] = ([x_1], \ldots, [x_n]) \)
Projeção	\( p_i(\mathbf{x}) = x_i \)
Soma	\( \sum \mathbf{x} = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \)
Produto	\( \Pi \mathbf{x} = x_1 x_2 \ldots x_n \)
Máximo	\( \bigvee \mathbf{x} = x_1 \vee x_2 \vee \cdots \vee x_n \)
Mínimo	\( \bigwedge \mathbf{x} = x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n \)
Norma Euclideana	\( \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} \)
Norma \( L^1 \)	( |\mathbf{x}|_1 =
Norma \( L^\infty \)	( |\mathbf{x}|_\infty =
Dimensão	\( dim(\mathbf{x}) = n \)
Vizinhança	\( \mathbf{N}(\mathbf{x}) \subset \mathbb{R}^n \)
Função característica	\( \chi_{\mathbf{X}}(\mathbf{z}) = 1 \) se \( \mathbf{z} \in \mathbf{X} \) e 0 caso contrário

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Exemplos Práticos

Dado \( \mathbf{x} = (2, 1, 3) \):

Operação	Cálculo	Resultado
Negação	\( -\mathbf{x} \)	\( (-2, -1, -3) \)
Projeção \( p_1 \)	\( p_1(\mathbf{x}) \)	\( 2 \)
Projeção \( p_2 \)	\( p_2(\mathbf{x}) \)	\( 1 \)
Projeção \( p_3 \)	\( p_3(\mathbf{x}) \)	\( 3 \)
Soma	\( \sum \mathbf{x} = 2 + 1 + 3 \)	\( 6 \)
Produto	\( \Pi \mathbf{x} = 2 \cdot 1 \cdot 3 \)	\( 6 \)
Máximo	\( \bigvee \mathbf{x} = 2 \vee 1 \vee 3 \)	\( 3 \)
Mínimo	\( \bigwedge \mathbf{x} = 2 \wedge 1 \wedge 3 \)	\( 1 \)
Norma \( L^2 \)	\( \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} \)	\( \sqrt{14} \)
Norma \( L^1 \)	(	2
Norma \( L^\infty \)	(	2
Dimensão	\( dim(\mathbf{x}) \)	\( 3 \)