Conjuntos de Pontos

Definição

Conjuntos de pontos são espaços topológicos compostos por:

• Conjuntos de objetos: pontos
• Topologia: conectividade

A conectividade define proximidade, vizinhança, curva, etc.

---

Notação

Conjuntos de Pontos

Conjuntos de pontos são denotados pelas últimas letras maiúsculas do alfabeto em negrito:

\[ \mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{W}, \mathbf{Z} \]

Pontos (Elementos)

Pontos (elementos) são denotados com as últimas letras minúsculas:

\[ \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \in \mathbf{X} \]

Coordenadas

Se \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \), representa-se:

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \]

onde \( x_i \) é um número real chamado i-ésima coordenada de \( \mathbf{x} \).

---

Conjuntos de Pontos Usuais

Os conjuntos de pontos mais usuais em álgebra de imagens são subconjuntos discretos do espaço Euclideano \( \mathbb{R}^n \) com \( n = 1, 2, 3 \).

Arranjos Espaciais

Podem estar organizados em qualquer arranjo espacial, embora formas retangulares, circulares ou snake sejam mais comuns.

Conjuntos Retangulares

Dois dos conjuntos que mais veremos são os retangulares:

Indexação começando em 0

\[ \mathbf{X} = \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{Z}^2 : 0 \leq x_1 \leq m-1, 0 \leq x_2 \leq n-1\} \]

Indexação começando em 1

\[ \mathbf{X} = \mathbb{Z}_m^+ \times \mathbb{Z}_n^+ = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{Z}^2 : 1 \leq x_1 \leq m, 1 \leq x_2 \leq n\} \]

---

Representação Visual

A figura acima mostra a representação de \( \mathbb{Z}_m^+ \times \mathbb{Z}_n^+ \), onde:

• O eixo x (vertical) representa as linhas de 1 a \( m \)
• O eixo y (horizontal) representa as colunas de 1 a \( n \)

---

Resumo

Notação	Significado
\( \mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{W}, \mathbf{Z} \)	Conjuntos de pontos
\( \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \)	Pontos (elementos)
\( \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \)	Conjunto retangular (índice 0)
\( \mathbb{Z}_m^+ \times \mathbb{Z}_n^+ \)	Conjunto retangular (índice 1)