Outras Estruturas Algébricas

Esta seção apresenta uma hierarquia de estruturas algébricas, partindo da mais simples (Magma) até a mais rica (Grupo).

---

Magma (Grupoide)

Um magma (ou grupoide) é um conjunto não-vazio \( N \) dotado de uma operação binária \( N \times N \rightarrow N \) denotada \( \cdot \) (produto) e satisfazendo a seguinte propriedade:

Fechamento

Para quaisquer \( a, b \in N \):

\[ (a \cdot b) \in N \]

Exemplos

Exemplo 1

Soma nos reais: \( (\mathbb{R}, +) \)

Exemplo 2

Multiplicação de matrizes reais

Contra-Exemplos

Contra-Exemplo 1

Soma nos reais excluindo o zero: \( a + (-a) = 0 \), mas \( 0 \) não está no conjunto.

Contra-Exemplo 2

Conjunto de funções complexas com produto interno em um intervalo fechado (resultado é um número, não uma função).

Importante

Todas as estruturas a seguir satisfazem o fechamento.

---

Semi-grupo

Um semi-grupo é um conjunto não-vazio \( S \) dotado de uma operação binária \( S \times S \rightarrow S \) denotada \( \cdot \) (produto) e satisfazendo:

Associatividade

Para quaisquer \( a, b, c \in S \):

\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]

Exemplos

Exemplo 1

Conjunto dos naturais positivos \( \{1, 2, 3, \ldots\} \) formam semi-grupo na operação de soma.

Exemplo 2

Multiplicação de matrizes reais.

Contra-Exemplos

Contra-Exemplo 1

Reais com operação de subtração \( - \): [ (a - b) - c \neq a - (b - c) ]

Contra-Exemplo 2

Reais com operação média \( a \oplus b = \frac{a + b}{2} \) (não é associativa).

---

Monoide

Um monoide é um conjunto não-vazio \( M \) dotado de uma operação binária \( M \times M \rightarrow M \) denotada \( \cdot \) (produto) e satisfazendo:

1. Associatividade

Para quaisquer \( a, b, c \in M \):

\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]

2. Elemento Neutro (Identidade)

Existe (e é único) um elemento \( e \in M \) tal que:

\[ g \cdot e = e \cdot g = g, \quad \forall g \in M \]

Exemplos

Exemplo 1

Conjunto \( Mat(\mathbb{C}, n) \) das matrizes complexas \( n \times n \) sob o produto usual de matrizes é um monoide (identidade = matriz identidade \( I \)).

Exemplo 2

\( \mathbb{R} \) sob multiplicação formam um monoide (identidade = 1).

Contra-Exemplos

Contra-Exemplo 1

\( \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} \) forma semigrupo em relação à soma, mas não um monoide pois o elemento neutro (0) não está no conjunto.

Contra-Exemplo 2

Conjunto de strings não vazias sob a operação de concatenação (elemento identidade seria exatamente a string vazia).

---

Grupo

Um grupo é um conjunto não-vazio \( G \) dotado de uma operação binária \( G \times G \rightarrow G \) denotada \( \cdot \) (produto) e uma operação unária \( G \rightarrow G \) denotada \( ^{-1} \) (inversa) e satisfazendo:

1. Associatividade

Para quaisquer \( a, b, c \in G \):

\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]

2. Elemento Neutro

Existe (e é único) um elemento \( e \in G \) tal que:

\[ g \cdot e = e \cdot g = g, \quad \forall g \in G \]

3. Inversa

Para cada \( g \in G \) existe e é único um elemento \( h \in G \) tal que:

\[ g \cdot h = h \cdot g = e \]

\( h \) é chamado de inversa de \( g \) e denotado \( g^{-1} \).

Grupo Abeliano

Se o grupo também satisfizer a comutatividade (\( a \cdot b = b \cdot a \)), é chamado de abeliano.

Exemplos de Grupos

Grupos Abelianos com Soma

Conjuntos \( \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) e \( \mathbb{C} \) são grupos abelianos em relação à soma usual.

Tais grupos costumam ser denotados respectivamente \( (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +) \) e \( (\mathbb{C}, +) \).

Grupos Abelianos com Multiplicação

Conjuntos \( \mathbb{Q}\setminus\{0\}, \mathbb{R}\setminus\{0\} \) e \( \mathbb{C}\setminus\{0\} \) são grupos abelianos em relação à multiplicação usual.

Denotados respectivamente \( (\mathbb{Q}, \cdot), (\mathbb{R}, \cdot) \) e \( (\mathbb{C}, \cdot) \).

Grupo Não-Abeliano

Conjunto \( GL(\mathbb{R}, n) \) de todas as matrizes reais \( n \times n, n > 1 \) com determinante não-nulo (inversíveis) formam um grupo não-abeliano.

Contra-Exemplos de Grupos

Contra-Exemplo 1

Conjunto \( \mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\} \) com a operação de soma não possui inversa (não existe \( -a \) para \( a > 0 \) no conjunto).

Contra-Exemplo 2

Conjunto \( Mat(\mathbb{C}, n) \) das matrizes complexas \( n \times n \) com a operação de multiplicação de matrizes não tem inversa garantida (matrizes singulares não têm inversa).

---

Corpo (Field)

Um corpo é um conjunto não-vazio \( \mathbb{F} \) dotado de duas operações binárias, \( + \) (soma) e \( \cdot \) (produto), satisfazendo as propriedades abaixo.

Propriedades da Soma

1. Comutatividade: Para quaisquer \( a, b \in \mathbb{F} \): [ a + b = b + a ]

2. Associatividade: Para quaisquer \( a, b, c \in \mathbb{F} \): [ (a + b) + c = a + (b + c) ]

3. Elemento Neutro (Zero): Existe (e é único) um elemento \( 0 \in \mathbb{F} \), chamado elemento nulo, tal que: [ a + 0 = 0 + a = a, \quad \forall a \in \mathbb{F} ]

4. Inversa Aditiva: Para cada \( a \in \mathbb{F} \) existe e é único um elemento \( b \in \mathbb{F} \) tal que: [ a + b = 0 ] Denota-se \( b \) por \( -a \).

Propriedades do Produto

1. Comutatividade: Para quaisquer \( a, b \in \mathbb{F} \): [ a \cdot b = b \cdot a ]

2. Associatividade: Para quaisquer \( a, b, c \in \mathbb{F} \): [ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) ]

3. Elemento Neutro (Unidade): Existe (e é único) um elemento \( 1 \in \mathbb{F} \), chamado unidade, tal que: [ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \quad \forall a \in \mathbb{F} ]

4. Inversa Multiplicativa: Para cada \( a \in \mathbb{F}, a \neq 0 \) existe e é único um elemento \( b \in \mathbb{F} \) tal que: [ a \cdot b = 1 ] Denota-se \( b \) por \( a^{-1} \).

Distributividade

Finalmente, o produto deve ser distributivo em relação à adição:

\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \quad \forall a, b, c \in \mathbb{F} \]

Exemplos de Corpos

Exemplos

• \( \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) e \( \mathbb{C} \) com soma e produto clássicas
• Conjunto \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) contendo números da forma \( a + b\sqrt{2} \), com \( a \) e \( b \) racionais
• Em geral, para qualquer \( p \) primo o conjunto \( \mathbb{Q}(\sqrt{p}) \) forma um corpo

Contra-Exemplos

• Matrizes \( n \times n, n \geq 2 \) com adição e produto de matrizes (produto não-comutativo)
• Inteiros módulo 4: \( \mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\} \) com soma e produto usual (2 não possui inverso multiplicativo)
• Em geral, \( \mathbb{Z}_n \) só é corpo para \( p \) primo

---

Anel (Ring)

Um anel é um conjunto não-vazio \( A \) dotado de duas operações binárias, \( + \) (soma) e \( \cdot \) (produto), de modo que a soma satisfaça os mesmos requisitos de um corpo.

Propriedades da Soma

1. Comutatividade: \( a + b = b + a \)
2. Associatividade: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
3. Elemento Neutro (Zero): Existe \( 0 \in A \) tal que \( a + 0 = 0 + a = a \)
4. Inversa Aditiva: Para cada \( a \) existe \( -a \) tal que \( a + (-a) = 0 \)

Propriedades do Produto

O produto se comporta como um monoide (não precisa ser comutativo nem ter inversa):

1. Associatividade: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
2. Elemento Neutro (Unidade): Existe \( 1 \in A \) tal que \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
3. Distributividade: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)

Exemplos e Contra-Exemplos de Anéis

Exemplos

• Matrizes reais \( n \times n \) com adição e multiplicação clássica de matrizes
• Inteiros módulo 4: \( \mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\} \) com adição e produto feito como de praxe mas com o resultado sendo o resto da divisão inteira por 4

Contra-Exemplos

• Números naturais (não incluindo zero) com adição e produto convencionais (não possui inverso aditivo)
• Conjunto de funções com suporte limitado e com adição usual e produto definido pela convolução: [ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)g(x - y)dy ] O único elemento que funcionaria como identidade do produto seria o \( \delta \) de Dirac, mas este não é propriamente uma função.

---

Semi-anel (Semiring)

Um semi-anel é idêntico a um anel exceto pelo fato de que não se exige a definição de uma inversa aditiva.

Exemplos de Semi-anéis

Exemplos Básicos

• Todo anel é por definição também um semi-anel
• Conjunto dos naturais (incluindo 0), bem como dos reais não-negativos e racionais não-negativos, sob as operações clássicas de adição e multiplicação

Matrizes Não-Negativas

Matrizes \( n \times n \) com entradas não negativas sob as operações convencionais de adição e multiplicação de matrizes (não necessariamente comutativo).

Linguagens Formais

Em linguagens formais, denotamos um alfabeto de símbolos por \( \Sigma \) e o conjunto de palavras possíveis por \( \Sigma^* \).

Um exemplo de semi-anel é uma linguagem formal (subconjunto de \( \Sigma^* \)) dotada de:

• Produto: definido pela concatenação de strings
• Adição: definida pela união dos conjuntos de cada linguagem

---

Hierarquia das Estruturas

graph TD
    subgraph "Uma Operação"
        A[Magma] -->|+ Associatividade| B[Semi-grupo]
        B -->|+ Elemento Neutro| C[Monoide]
        C -->|+ Inversa| D[Grupo]
        D -->|+ Comutatividade| E[Grupo Abeliano]
    end

    subgraph "Duas Operações"
        E -->|+ 2ª op. monoide + distrib.| F[Semi-anel]
        F -->|+ Inversa aditiva| G[Anel]
        G -->|+ Inversa multip. + comut.| H[Corpo]
    end

---

Tabela Comparativa

Estruturas com Uma Operação

Estrutura	Fecham.	Assoc.	Neutro	Inversa	Comut.
Magma	✅	❌	❌	❌	❌
Semi-grupo	✅	✅	❌	❌	❌
Monoide	✅	✅	✅	❌	❌
Grupo	✅	✅	✅	✅	❌
Grupo Abeliano	✅	✅	✅	✅	✅

Estruturas com Duas Operações

Estrutura	Soma: Grupo Abel.	Produto: Monoide	Prod. Comut.	Inv. Multip.	Distrib.
Semi-anel	❌ (só monoide)	✅	❌	❌	✅
Anel	✅	✅	❌	❌	✅
Corpo	✅	✅	✅	✅	✅