Reticulados como Estruturas Algébricas

Visão Algébrica de Reticulados

Um reticulado pode também ser visto como uma álgebra universal composta por um conjunto não-vazio \( C \) e duas funções binárias \( \wedge \) e \( \vee \) (lê-se "e" e "ou", respectivamente).

Notação

Usamos notação mesofixa (infixo): escrevemos \( a \wedge b \) em vez de \( \wedge(a, b) \).

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Propriedades Fundamentais

Para quaisquer \( a, b, c \in C \), as operações \( \wedge \) e \( \vee \) devem satisfazer:

1. Idempotência

\[ a \wedge a = a \qquad a \vee a = a \]

2. Comutatividade

\[ a \wedge b = b \wedge a \qquad a \vee b = b \vee a \]

3. Associatividade

\[ a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c \qquad a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c \]

4. Absorvência (Amalgamento)

\[ a \wedge (a \vee b) = a \qquad a \vee (a \wedge b) = a \]

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Tabela Resumo das Propriedades

Propriedade	Operação \( \wedge \)	Operação \( \vee \)
Idempotência	\( a \wedge a = a \)	\( a \vee a = a \)
Comutatividade	\( a \wedge b = b \wedge a \)	\( a \vee b = b \vee a \)
Associatividade	\( a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c \)	\( a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c \)
Absorvência	\( a \wedge (a \vee b) = a \)	\( a \vee (a \wedge b) = a \)

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Exemplos

Exemplo 1: Conjunto das Partes

Seja \( C = \mathbb{P}(B) \), para algum conjunto não-vazio \( B \).

Para todo \( a, b \subset B \), definimos:

• \( a \wedge b := a \cap b \) (intersecção)
• \( a \vee b := a \cup b \) (união)

Verificação

As operações de intersecção e união satisfazem todas as 4 propriedades, formando um reticulado.

Exemplo 2: Números Reais

Seja \( C = \mathbb{R} \) e as seguintes funções binárias:

• \( a \wedge b := \min\{a, b\} \)
• \( a \vee b := \max\{a, b\} \)

Verificação

As operações min e max também satisfazem as 4 propriedades.

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Lema: Relação entre Operações e Ordem

Lema

Seja \( C \) um conjunto não-vazio compondo um reticulado com as operações binárias \( \wedge \) e \( \vee \).

Para \( x, y \in C \), a igualdade \( x = x \wedge y \) é satisfeita se e somente se \( y = x \vee y \).

Induzindo uma Ordem Parcial

O Lema acima nos permite induzir uma ordem parcial a partir de um reticulado em \( C \).

Dizemos que:

\[ x \preceq y \quad \text{se e somente se} \quad x = x \wedge y \]

Ou equivalentemente (pelo Lema):

\[ x \preceq y \quad \text{se e somente se} \quad y = x \vee y \]

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Conexão entre as Duas Visões

Importante

• No Exemplo 1: as operações \( \cap \) e \( \cup \) induzem a relação parcial "subconjunto de" (\( \subset \))
• No Exemplo 2: as operações \( \min \) e \( \max \) induzem a relação \( \leq \)

graph LR
    A[Reticulado como Poset] <-->|Equivalência| B[Reticulado como Álgebra]
    A --> C["sup e inf existem<br>para todo par"]
    B --> D["∧ e ∨ satisfazem<br>4 propriedades"]
    C --> E[Ordem ⪯]
    D --> E

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Resumo

Perspectiva	Definição
Poset	Conjunto parcialmente ordenado onde todo par tem sup e inf
Álgebra Universal	\( \langle C, \wedge, \vee \rangle \) satisfazendo idempotência, comutatividade, associatividade e absorvência

As duas definições são equivalentes - podemos transitar entre elas livremente.