Álgebra Universal

Conceitos Iniciais

Sejam dois conjuntos não-vazios \( C \) e \( I \).

Operação

Uma função \( f : C \times I \rightarrow C \) é chamada de operação sobre \( C \).

Operação Finitária

Se \( I \) é finito, a função \( f : C \times I \rightarrow C \) é dita ser uma função (operação) finitária sobre \( C \).

Função n-ária

Em particular, uma função \( f : C^n \rightarrow C \), para \( n \in \mathbb{N} \), é chamada de função n-ária:

n	Nome	Exemplo
1	Unária	Negação, complemento
2	Binária	Soma, multiplicação
3	Ternária	\( t(A, B, C) = AB^TC \)

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Relações e Estruturas

Relação

Um subconjunto \( R \subset C \times I \) é chamado de relação sobre \( C \).

Se \( R \subset C^n \), temos uma relação n-ária.

Estrutura

Seja \( C \) um conjunto, \( \mathfrak{F} \) uma coleção de operações sobre \( C \) e \( \mathfrak{R} \) uma coleção de relações sobre \( C \).

A tripla \( \langle C, \mathfrak{F}, \mathfrak{R} \rangle \) é chamada de estrutura sobre \( C \).

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Definição de Álgebra Universal

Definição Formal

Uma álgebra universal é composta por um conjunto \( C \) e uma coleção \( \mathfrak{F} \) (não necessariamente finita) de funções finitárias sobre \( C \).

Representa-se por \( \langle C, \mathfrak{F} \rangle \).

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Exemplos de Álgebras Universais

Exemplo 1: Números Reais

\[ C = \mathbb{R}, \quad \mathfrak{F} = \{s, m\} \]

Onde \( s \) e \( m \) são funções binárias definidas por:

• \( s : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad s(x, y) = x + y \) (soma)
• \( m : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad m(x, y) = x \cdot y \) (multiplicação)

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Exemplo 2: Matrizes Quadradas

\[ C = Mat(\mathbb{C}, n) \text{ (conjunto das matrizes complexas de ordem } n \times n, n \in \mathbb{N}) \]

\[ \mathfrak{F} = \{s, m\} \]

Onde:

• \( s : C^2 \rightarrow C, \quad s(A, B) = A + B \) (soma de matrizes)
• \( m : C^2 \rightarrow C, \quad m(A, B) = A \cdot B \) (multiplicação de matrizes)

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Exemplo 3: Matrizes Retangulares

\[ C = Mat(\mathbb{C}, m, n) \text{ (conjunto das matrizes complexas de ordem } m \times n, m, n \in \mathbb{N}) \]

\[ \mathfrak{F} = \{c, s, t\} \]

Onde:

Função	Aridade	Definição
\( c \)	Unária	\( c : C \rightarrow C, \quad c(A) = \overline{A} \) (matriz complexo-conjugada)
\( s \)	Binária	\( s : C^2 \rightarrow C, \quad s(A, B) = A + B \)
\( t \)	Ternária	\( t : C^3 \rightarrow C, \quad t(A, B, C) = AB^TC \)

Notação

\( B^T \) denota a transposta de \( B \).

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Resumo

graph TD
    A[Álgebra Universal] --> B[Conjunto C]
    A --> C[Coleção de Funções F]
    C --> D[Unárias n=1]
    C --> E[Binárias n=2]
    C --> F[n-árias]
    B --> G[Elementos do conjunto]

    H[Estrutura] --> B
    H --> C
    H --> I[Coleção de Relações R]