Máximo, Mínimo, Supremo e Ínfimo

Máximo e Mínimo

Definição de Máximo

Se \( X \) é um conjunto dotado de uma relação de ordem parcial \( \preceq \), diz-se que \( z \in X \) é o máximo de \( X \) se:

\[ x \preceq z, \forall x \in X \]

Se tal máximo existir, ele será único.

Definição de Mínimo

Se \( X \) é um conjunto dotado de uma relação de ordem parcial \( \preceq \), diz-se que \( a \in X \) é o mínimo de \( X \) se:

\[ a \preceq x, \forall x \in X \]

Se tal mínimo existir, ele será único.

Exemplos

Exemplo: Divisores de 18

Conjunto \( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \) de todos os números que dividem 18:

• Máximo: 18 (todos dividem 18)
• Mínimo: 1 (1 divide todos)

Contra-Exemplo: Conjunto sem Máximo nem Mínimo

Conjunto \( \{2, 3, 6, 12, 18\} \) com relação de divisibilidade não tem nem máximo nem mínimo:

• 2 não divide 3 e 3 não divide 2 (não comparáveis)
• 18 não é dividido por 12, apenas por 2, 3 e 6

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Majorantes e Minorantes

Majorante (Limitante Superior)

Seja \( X \) um conjunto dotado da ordem \( \preceq \) e \( A \subset X \). Se existe um elemento \( t \in X \) tal que:

\[ a \preceq t, \forall a \in A \]

Então diz-se que \( t \) é um majorante ou limitante superior de \( A \).

Minorante (Limitante Inferior)

Analogamente, se existe um elemento \( h \in X \) tal que:

\[ h \preceq a, \forall a \in A \]

Então diz-se que \( h \) é um minorante ou limitante inferior de \( A \).

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Supremo e Ínfimo

Supremo (Menor Majorante)

O mínimo do conjunto de majorantes de \( A \), se existir, é chamado de supremo de \( A \).

\[ \sup(A) = \min\{t \in X : a \preceq t, \forall a \in A\} \]

Ínfimo (Maior Minorante)

O máximo do conjunto de minorantes de \( A \), se existir, é chamado de ínfimo de \( A \).

\[ \inf(A) = \max\{h \in X : h \preceq a, \forall a \in A\} \]

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Exemplos de Supremo e Ínfimo

Exemplo: Intervalo Aberto (0, 1) em ℝ

Subconjunto aberto \( (0, 1) \) de \( \mathbb{R} \) com relação \( \leq \):

• Majorantes: qualquer \( x \geq 1 \)
• Minorantes: qualquer \( x \leq 0 \)
• Supremo: 1
• Ínfimo: 0

Note que o supremo e o ínfimo não pertencem ao conjunto \( (0, 1) \)!

Exemplo: Divisores de 36

Seja \( D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \) e o subconjunto \( A = \{2, 3\} \):

• Majorantes de A: 6, 12, 18, 36 (múltiplos comuns)
• Supremo: 6 (menor majorante = MMC)
• Minorante de A: 1 (divide ambos)
• Ínfimo: 1 (maior minorante = MDC)

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Comparação: Máximo/Mínimo vs Supremo/Ínfimo

Conceito	Pertence ao conjunto?	Existência
Máximo	✅ Sim, obrigatoriamente	Pode não existir
Mínimo	✅ Sim, obrigatoriamente	Pode não existir
Supremo	❓ Não necessariamente	Pode não existir
Ínfimo	❓ Não necessariamente	Pode não existir

Dica Importante

Se o máximo de um conjunto existe, então ele é igual ao supremo.
Se o mínimo de um conjunto existe, então ele é igual ao ínfimo.